Question

在线等！设函数f(x)=1-x+alnx(a属于R) (1)若a=1,求f(x)的最大值。 (2)若x大于等于1时,f(x)小于等...

在线等！设函数f(x)=1-x+alnx(a属于R) (1)若a=1,求f(x)的最大值。 (2)若x大于等于1时,f(x)小于等于0,求a的取直范围

Answer 1

解：(1).原函数f(x）=1-x+alnx (a属于R），已知a=1,则函数为
f(x）=1-x+lnx , x的取值范围为：x>0. 又函数的导函数：
f'(x)=1/x-1 得：x在(0，1)范围内，f(x)单调递增；x在(1，＋∞)范内
f(x) 单调递减, 则f(x)的最大值是f(1)=0，
故：在a=1的情况下，f(x)的最大值为0
(2):已知x>=1,且要求f(x)小于等于0恒成立，
则有 :f(x)=1-x+alnx <=0
因为： f(1)=0 所以只要函数为减函数，就能保证f(x)<=0
f'(x)=-1+a/x, ；令f'(x)<0,则有不等式 -1+a/x<0
解得：a<x 取x的最小值，即a<=1,我们就能保证函数的值恒小于等于0
故：a的取值范围为：a<=1

Answer 2

1、当a=1时，f(x)=1－x＋lnx，则：f'(x)=(1－x)/(x)，即：函数f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，则f(x)的最大值是f(1)=0；
2、当x≥1时，f(x)=1－x＋alnx≤0，即：a≤(x－1)/(lnx)在x≥1时恒成立，设：g(x)=(x－1)/(lnx)，则：g'(x)=[xlnx－x＋1]/[x(lnx)²]设：h(x)=xlnx－x＋1，则：h'(x)=lnx。由于x≥1，则h'(x)≥0，即函数h(x)递增，从而h(x)的最小值是h(1)=0，即：h(x)≥0，所以g'(x)≥0在x≥1时恒成立，也就是说函数g(x)是递增的，所以g(x)的最小值是g(1)=1，所以a≤g(x)的最小值即可，得：a≤1

Answer 3

最大值是0