Question

高一数学问题（急，高手进）

定义在R上的函数f(x)，对于任意的x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)<0,f(1)=-2
(1)判断f(x)的奇偶性并证明；
(2)判断f(x)的单调性，并求当x属于[-3,3]时，f(x)的最大值及最小值。
答对就重谢啦！

Answer 1

因为f(1)=-2，所以根据这个式子，凑
假设x+y=1，则y=1-x
则f(x+y)=f(x)+(y)
=f(x)+f(1-x)
=f(x)+f[1+(-x)]
=f(x)+f(1)+f(-x)
=f(x)+(-2)+f(-x)=-2
所以，f(x)+f(-x)=0
所以，f(x)=-f(-x)
即-f(x)=f(-x)
所以，奇函数

因为已经有了已知的等量关系，所以直接代入，
设x1=1，f(x1)=f(1)=-2
x2=1+1=2，f(x2)=f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-2-2=-4
由上，x1<x2，f(x1)>f(x2)
所以，当x>0时，减函数
利用奇函数关于坐标原点对称的性质，得到此函数在x<0时，也是减函数
所以，寒暑单调递减

x属于[-3, 3]时
因为-3<3,根据单调递减，所以，f(-3)是max，f(3)是min
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=-2+f(1+1)=-2+[f(1)+f(1)]=-2+(-2-2)=-6
再根据奇函数性质，f(-x)=-f(x)，所以f(-3)=-(-6)=6
答案max=f(-3)=6
min=f(3)=-6

Answer 2

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(1+0)=f(1)+f(0)
所以f(0)=0
f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x)
所以定义在R上的函数f(x)为奇函数

当x>0时
2x>x
f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)
因为当x>0时，f(x)<0
所以f(2x)-f(x)=f(x)<0
所以f(2x)<f(x)
当x>0时，f(x)是减函数
根据奇函数对称性，函数f(x)在定义域上为单调递减函数

当x属于[-3, 3]时
f(-3)是最大值，f(3)是最小值
f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6
所以f(-3)=-f(3)=6
最大值6，最小值-6

Answer 3

(1)f(x+y)=f(x)+f(y)

f(1+0)=f(1)+f(0)

所以f(0)=0

设x=-x

f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0

所以f(x)=-f(-x)

所以定义在R上的函数f(x)为奇函数

(2)f(-1)=-f(1)=2

f(-1)>f(1)

因为定义在R上的函数f(x)为奇函数

所以定义在R上的函数f(x)为单调减函数

当x属于[-3,3]时 f(-3)为最大值 f(3)为最小值

f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)

所以f(3)=3*(-2)=-6

f(-3)=-f(3)=6

Answer 4

题理解的对吗？

Answer 5

f(x)=(x-2)^2-8
当t+1<2,即t<1时f(x)在[t,t+1]上是减函数，最小值g(t)=（t+1）2-4（t+1）-4
当t>2时f(x)在[t,t+1]上是增函数，最小值g(t)=t2-4t-4
当1<t<2时，最小值为g(t)=f(2)=-8