Question

在三角形ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,已知cosA/cosB=b/a,且角C=2π/3.

1.求角A,B的的大小。2.若BC边上的中线AM的长为根号7，求三角形ABC的面积

Answer 1

∵cosA/cosB=b/a,
根据正弦定理：b=2RsinB,a=2RsinA
∴cosA/cosB=sinB/sinA
∴sinAcosA=sinBcosB
∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A+2B=π
∴A=B或A+B=π/2
∵C=2π/3.
∴A+B=π/2不成立
∴A=B=(π-C)/2=π/6
2
∵A=B=π/6,
∴ΔABC为等腰三角形
设CA=CB=x
则 ∵C=2π/3,
根据余弦定理得AB=√3x
BC边上的中线AM的长为根号7
延长AM至D使AD=2√7
∴ABDC是平行四边形
∠ABD=2π/3+π/6=5π/6
∴AD²=AB²+BD²-2AB*BDcos5π/6
∴28=3x²+x²+2*√3x*x*√3/2
∴7x²=28,x²=4,x=2
∴SΔABC=1/2*BC²sinC=√3

Answer 2

cosA/cosB=b/a=sinB/sinA，即sinAcosA=sinBcosB
C=2π/3,则A+B=π-C=π/3，即A=π/3-B
sinA=sin(π/3-B)=sinπ/3cosB-cosπ/3sinB=
cosA=cos(π/3-B)=cosπ/3cosB+sinπ/3sinB=
tan2B=3-根号3，tanB= ，B= ，A=
三角形AMC中，CM=a/2，C=2π/3且AM=根号7，则AM^2=(a/2)^2+b^2-2(a/2)b*cosC
由第一问得知a:b= ，所以b= ,a=
即可得三角形面积

Answer 3

1 cosA/cosB=b/a=sinB/sinA，故sin2A=sin2B，故2A=2B或2A=Pi-2B.但A+B=Pi/3，即2A=2Pi/3-2B，故2A=2B，即A=B=Pi/6.
2 三角形ABC等腰，AC=BC=a，则由余弦定理得 cosC=[(2/a)^2+a^2-(根号7)^2]/[2*(a/2)*a]=-1/2，故a=2，故三角形面积为(1/2)a*a*sin(2Pi/3)=根号3.