Question

将函数f(X)=（1+x）ln(1+x）-x展开成x的幂级数

Answer 1

f(X)= (-1)^(k-1) * (k-1)

令 g(x) = ln(1+x)， g(0) = 0

[ln(1+x)] ' = 1 / (1+x)， g'(0) = 1

[ln(1+x)] '' = -1 / (1+x)^2， g''(0) = -1

[ln(1+x)] ''' = 2 / (1+x)^3， g''(0) = 2

一般有：[ln(1+x)] ^(k) 

= (-1)^(k-1) * (k-1)! / (1+x)^k， g^(k)(0)

 = (-1)^(k-1) * (k-1)

绝对收敛级数

一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的。一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。

Answer 2

把ln(1+x)按公式展开，
将上面的展开式乘以(1+x)，（最简单的办法就是将ln(1+x),与xln(1+x)的展开式错位相加）
组后减去x就得到了。
具体计算还是留给你自己比较好，起码多看一眼ln(1+x)的展开式。

Answer 3

既 y+x=(1+x)ln(1+x)
(y+x)/(1+x)=ln(1+x)
[(y+x)/(1+x)]^e=(1+x)
(y+x)^e=(1+x)^(1+e)不知道对不对 你自己看答案下最好

Answer 4

令 g(x) = ln(1+x)， g(0) = 0；
[ln(1+x)] ' = 1 / (1+x)， g'(0) = 1；
[ln(1+x)] '' = -1 / (1+x)^2， g''(0) = -1；
[ln(1+x)] ''' = 2 / (1+x)^3， g''(0) = 2!；
一般有：[ln(1+x)] ^(k) = (-1)^(k-1) * (k-1)! / (1+x)^k， g^(k)(0) = (-1)^(k-1) * (k-1)! ；
根据泰勒展开式有：
∴ ln(1+x) = x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n + ......
(1+x) ln(1+x) - x = ln(1+x) + x ln(1+x) - x
= (x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n + ......) +
x * (x - x^2 / 2 + x^3 / 3 + ... ... + (-1)^(n-1) * x^n / n + ......) - x
= x^2 / 2 - x^3 / 6 + x^4 / 12 + ...... + (-1)^n * x^n / ((n-1) * n) + ......