Question

初三数学压轴题

已知A（4,0），B（3,2），C（1,2），动点M从B出发，沿BC向c点运动，动点N从点同时停止运动，在运动过程中，MP垂直于OA，MP于AC相交于点Q，运动时间为t，（1）S=S⊿AMQ，求S于t的关系，并求S的最大值。（2）t为何值时，三角形AMQ为等腰三角形。
S为三角形AMQ的面积。

Answer 1

分析：（1）已知点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（1，2），根据“两点法”可求直线AC的解析式；（2）过B作BH⊥OA于H，根据等腰梯形的性质可求B点坐标，由直线AC的解析式可表示线段PQ，又由已知可表示AM，再表示△AMQ的面积，根据二次函数的性质求最大值；（3）当△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形，有两种情况：①QM=QA，②QM=MA，可根据图形特征和勾股定理求解．
解答：解：解（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，把点A（4，0），C（1，2）代入得① 4k+b=0② k+b=2 ．解得 k=-2/ 3 b=8/ 3 ，∴y=-2 /3 x+8 /3 （2）过B作BH⊥OA于H，∵C（1，2），由等腰梯形的性质∴AH=1，则OP=OA-AH-HP=4-1-BN=3-t∵点Q是AC上的点∴PQ=-2/ 3 （3-t）+8 /3 ∵AM=OA-OM=4-2t∴S=1/ 2 AM•PQ=1 /2 （4-2t）（2/ 3 t+2/ 3 ）=-2 /3 t²+2 /3 t+4/ 3 ；当t=1 /2 时，S最大=3/ 2
（3）有以下两种情形①QM=QA，由等腰三角形三线合一的性质此时MP=AP，即3-3t=t+1，t=0.5（2分）②QM=MA，即QM2=MA2，由勾股定理得MP2+PQ2=MA2即（3-3t）²+（2 /3 t+2 /3 ）²=（4-2t）²，t1=59/ 49 ，t2=-1（舍去）∴当t=0.5或t1=59 49 时，△AMQ是以MQ为腰的等腰三角形
（本题考查了直线解析式的求法，坐标系中三角形面积的表示方法，二次函数的最大值问题，及寻找等腰三角形的条件．）

Answer 2

说明一下图片少了一个答案，也就是倒数第二行的舍去应添加上，有三个t ;t=4/3是答案！！！

Answer 3

（1）MC//AP
MC/AP=MQ/PQ=(PM-PQ)/PQ=PM/PQ-1=2/PQ-1
PQ=2/(MC/AP+1)=2AP/(MC+AP)
AP=OA-OP=4-(1+BC-MB)=1+t
MC=BC-MB=2-t
PQ=(2+2t)/3
AN=OA-ON=4-3t
S=1/2*AN*PQ=1/2*(4-3t)*(2+2t)/3=(4/3-t)(1+t)
所以当t=1/6时，S取到最大值49/36
（2）△AMQ是等腰三角形
①AQ=NQ
AP=NP
1+t=OP-ON=1+BC-MB-3t
t=2-t-3t
t=2/5
②AQ=AN
AP*AC/(AP+MC)=4-3t
(1+t)根号13/3=4-3t
(根号13/3+3)t=4-根号13/3
t=(4-根号13/3)/(根号13/3+3)=(12-根号13)/(根号13+9)(12-根号13)/(根号13+9)
③NQ=AN
Q(3-t,(2+2t)/3)
N(3t,0)
根号[(4t-3)^2+(2/3+2t/3)^2]=4-3t
16t^2-24t+9+4/9+8t/9+4t^2/9=16-24t+9t^2
7t^2+4t^2/9+8t/9+4/9-7=0
67t^2+8t-59=0
(t+1)(67t-59)=0
t=59/67
所以当t=2/5或(12-根号13)/(根号13+9)或59/67时，△AMQ为等腰三角形

Answer 4

根号13/3(1+t)BM=t, CM=2-t, 延长CB至点D,连接AD使AD垂直于BC,可知BD=1，AD=2，于是tan∠ACB=AD/CD=2/3
于是MQ/CM=2/3，即MQ=2/3(2-t)
AP=1+t
△AMQ的面积为：S=1/2*MQ*AP=1/2*2/3(2-t)*(1+t)=-1/3(t-2)(t+1)
当t=1/2时，S取最大面积为3/4.
(2) 由题意可知，当AQ=MQ时，△AMQ为等腰三角形。
AQ^2=AP^2+PQ^2=13/9(1+t)^2
AQ=根号13/3(1+t)
根号13/3(1+t)=2/3(2-t),
解得 t=(4-根号13)/(2+根号13)

Answer 5