Question

取一副三角板按图（1）拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一个大小为a的角得到"△"ABC

取一副三角板按图（1）拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A按顺时针方向旋转一个大小为a的角得到"△"ABC1(如图2).试问;

连接BD，探索角DBC'+角CAC'+角BDC的值是否发生变化（如图（3））
∠C1AC=45°

Answer 1

（1）当α为多少度时，能使得图②中AB‖DC；（2）当旋转至图③位置，此时α又为多少度图③中你能找出哪几对相似三角形，并求其中一对的相似比；（3）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：一副三角板的角度常识和相似三角形的判定定理及性质可求解．解答：解：（1）如图②，由题意∠CAC'=α，要使AB‖DC，须∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°．∴α=∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=45°-30°=15°．即α=15°时，能使得AB‖DC．（4分）（2）易得α=45°时，可得图③，此时，若记DC与AC'，BC'分别交于点E，F，则共有两对相似三角形：△BFC∽△ADC，△C'FE∽△ADE．（6分）下求△BFC与△ADC的相似比：在图③中，设AB=a，则易得 ．在图③中，设AB=a，则易得AC= a．则BC=（ -1）a，BC：AC=（ -1）a： a=1：（2+ ）或（2- ）：2．（8分）注：△C'FE与△ADE的相似比为：C'F：AD=（ - +1）： 或（ + -2）：2．（3）解法一：当0°＜α≤45°时，总有△EFC'存在．∵∠EFC'=∠BDC+∠DBC'，∠CAC'=α，∠FEC'=∠C+α，∵∠EFC'+∠FEC'+∠C'=180°∴∠BDC+∠DBC'+∠C+α+∠C'=180°（11分）又∵∠C'=45°，∠C=30°∴∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°（13分）解法二：在图②中，BD分别交AC，AC'于点M，N，由于在△AMN中，∠CAC'=α，∠AMN+∠CAC'+∠ANM=180°，∴∠BDC+∠C+α+∠DBC'+∠C'=180°∴∠BDC+30°+α+∠DBC'+45°=180°∴∠BDC+α+∠DBC'=105°（11分）在图③中，α=∠CAC'=45°易得∠DBC'+∠BDC=60°也有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°综上，当0°＜a≤45°时，总有∠DBC'+∠CAC'+∠BDC=105°．（13分）点评：此题主要考查了相似三角形的判定定理及一副三角板的固定角度．需注意的是利用相似性质的时候找准对应的角、对应边．