Question

求函数f(x)=(2sin^2x-3sinx)/(2sinx+3)^2的值域

求函数f(x)=(2sin^2x-3sinx)/(2sinx+3)^2的值域
要过程

Answer 1

你好！
令u=2sinx +3
则 1 ≤ u ≤ 5
sinx = (u-3)/2
f(x) = [ (u-3)²/2 - 3(u-3)/2 ] / u²
= 9/u² - 9/(2u) + 1/2
= 9( 1/u - 1/4)² - 1/16
1/5 ≤ 1/u ≤ 1
当 1/u = 1/4 时，f(x)取最小值 -1/16
当 1/u = 1时，f(x)取最大值 5
∴值域为 [ - 1/16 , 5 ]

Answer 2

解:设f(x)=y,
原式变为4ysin^2x+12ysinx+9y=2sin^2x-3sinx
(4y-2)sin^2x+(12y+3)sinx+9y=0
⊿=(12y+3)^2-4(4y-2)*9y≥0
16y+1≥0
y≥-1/16
即f(x)≥-1/16

追问

最大值没有限定吗

追答

又因为-1≤sinx≤1，当sinx= -1时，y=5。所以，5≥f(x)≥-1/16

Answer 3

方法就是化为二次方程。要求关于t=sinx的系数为y的方程在[-1,1]中有解。可分情况讨论。由对称轴的位置，结合二次方程根的分布可以求出。