Question

已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证(1）四边形ABCD是平行四边形（2）...

已知空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,求证(1）四边形ABCD是平行四边形（2）若BD=2倍根号3,AC=2,EG=于2,求异面直线EG、BD所成的二面角

Answer 1

1、不是异面直线EG和BD所成的二面角，应该是二异面直线所成角。

在△ABC中，

∵E、F分别是AB和BC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF//AC，且EF=AC/2，

同理，在△ADC中，HG是△ADC中位线，

∴HG//AC，且HG=AC/2，

∴EF//HG，

∴EF=AC/2=HG，

∴四边形EFGH是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

2、∵GF是△BDC的中位线，

∴GF//BD，

∴〈EGF就是异面直线BD和EG所成角，

EF=AC/2=1，GF=BD/2=√3，

EG=2，

在△EFG中根据余弦定理，

cos<EGF=(EG^2+FG^2-EF^2)/(2*EG*GF)

=(4+3-1)/(2*2*√3)

=√3/2，

∴<EGF=30°，异面直线EG、BD所成的角为30度。

Answer 2

已知空间四边形ABCD中,
E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,
求证(1）四边形ABCD是平行四边形

缺条件
因为没有EFGH的几何特征

Answer 3

在△ABC中，
∵E、F分别是AB和BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AC，且EF=AC/2，
同理，在△ADC中，HG是△ADC中位线，
∴HG//AC，且HG=AC/2，
∴EF//HG，
∴EF=AC/2=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形

Answer 4

“异面直线EG、BD所成的二面角”

是由两个向量在它们的法方向上生成的二面角：