Question

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB=3/4

（1）若ac=2，求a+c的值（2）求1/tanA+1/tanB的值

Answer 1

解：
1)由a，b，c成等比数列
∴b²=ac=2
由余弦定理,b²=a²+c²-2accosB
∴a²+c²=b²+2accosB=5
∴(a+c)²=a²+c²+2ac=9
∴a+c=3
2)由1),b²=ac=2,a+c=3,易解出
b=√2，a=1,c=2①或a=2,c=1(由题，求1/tanA+1/tanB，可代入其中一组求解，代①)
由cosB=3/4
sinB=√7/4
根据正弦定理
sinA=
sinC=
由sin²a+cos²a=1，可知
cosA=
cosB=
∴tanA=,tanB=
∴1/tanA+1/tanB=
偷懒下。。

Answer 2

(1)∵a，b，c成等比数列
∴b²=ac=2
又b²=a²+c²-2accosB
∴ a²+c²-3=2
得a²+c²=5
(a+c)²=5+4
∴a+c=3

Answer 3

解：
由题意知,b^2=ac,
sinB=根[1-(cosB)^2]=(根7)/4,
且A+C=π-B.
(1)cotA+cotC
=sin(A+C)/sinAsinC
=sinB/sinAsinC.
应用正弦定理有,
sinB/sinAsinC
=2R×b/ac
=2R/b
=1/sinB
=(4根7)/7.
(2)BA(向量)×BC(向量)
=acosB
=3/4×ac
=3/2
∴ac=2
又由余弦定理有
a^2+c^2=b^2+2ac×cosB
→(a+c)^2
=b^2+2ac×(1+cosB)
=2+4×(1+3/4)
=9
∴a+c=3.