Question

已知函数f（x）=ax3+3x2-6ax-11，g（x）=3x2+6x+12，直线l：y=kx+9，又f′（-1）=0

是否存在K的值，使直线l既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线。如果存在，请求出k的值。

Answer 1

由f(x)=ax^3+3x^2-6ax-11  => f'(x)=3ax^2+6x-6a

∴ f'(-1)=0=3a-6-6a  => a=-2  => f(x)=-2x^3+3x^2+12x-11

设直线l在f(x)上的一个切点为M(m,f(m))，在g(x)上的一个切点为N(n,g(n))

直线l：y=kx+9 过定点P(0,9)，若直线既是y=f(x)的切线，又是y=g(x)的切线

则必有P,M,N三点共线，即k(PM)=k(PN)=k(MN)=k

∴ [f(m)-9]/(m-0)=[g(n)-9]/(n-0)=[f(m)-g(n)]/(m-n)=k

即 [(-2m^3+3m^2+12m-11)-9]/m=[(3n^2+6n+12)-9]/n=k                         (1)

由f(x)，g(x)，y的函数求导可得，f'(x)=-6x^2+6x+12，g'(x)=6x+6，y'=k

由P,M,N三点共线知，经过三点的切线斜率相等，即f'(m)=g'(n)=y'=k，

∴-6m^2+6m+12=6n+6=k                                 (2)

联立方程(1)(2)，解方程组，可得m=2,n=-1,k=0

此时f(m)=f(2)=-2*2^3+3*2^2+12*2-11=9，∴M=M(2,9)

f(n)=f(-1)=3-6+12=9，∴N=N(-1,9)

易见，P(0,9)，M(2,9)，N(-1,9)三点纵坐标相同，故在同一水平线上，且斜率为0

∴存在k=0使直线l既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线 

 

 

Answer 2

∵f（x）＝ax^3＋3x^2－6ax－11，∴f′（x）＝3ax^2＋6x－6a，∴f′（－1）＝3a－6－6a＝0，
∴a＝－2，∴f′（x）＝－6x^2＋6x＋12
∴当直线 l 是y＝f（x）的切线时，有：k＝－6x^2＋6x＋12。
∵g（x）＝3x^2＋6x＋12，∴g′（x）＝6x＋6。

假设存在满足条件的k，则有：－6x^2＋6x＋12＝6x＋6，∴x^2＝1，∴x＝1，或x＝－1。
∵f（1）＝－2＋3＋12－11＝2、g（1）＝3＋6＋12＝21，
　f（－1）＝2＋3＋12－11＝6、g（－1）＝3－6＋12＝15，
∴（1，f（1））、（1，g（1））不是同一点，
　（－1，f（－1））、（－1，g（－1））也不是同一点。
∴不存在满足条件的k。

Answer 3

f'(x)=3ax^2+6x-6a,
f'(-1)=3a-6-6a=0
a=-2,
f'(x)=-6x^2+6x+12,g'(x)=6x+6
如果直线l是曲线f(x)的切线，则存在切点t，
使得f'(t)=-6t^2+6t+12=k,且f(t)=-2t^3+3t^2+12t-11=kt+9
t=2,k=0
如果直线l是曲线g(x)的切线，则存在切点m，
使得g'(m)=6m+6=k,且g(m)=3m^2+6m+12=km+9
m=+1或-1，k=12或0
所以为了使直线l既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线y=g(x)的切线，存在k=0

不理解可以追问我~~~~

追问

想问一下：当存在切点T时联立方程可得 4t^3-3t^2-20=0 像这种类型的应该怎么解呢

追答

盛金公式，百科上很详细的，比较简单的就是因式分解，
4t^3-3t^2-20=(t+a)(4t^2+bt+c)=4t^3+(4a+b)t^2+(ab+c)t+ac=0,
4a+b=-3, ab+c=0,ac=-20
a=-2,b=5,c=10
所以
4t^3-3t^2-20=(t-2)(4t^2+5t+10)=0，只存在一个根，t=2