Question

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为根号6/3,且经过点(3/2,1/2) (1)求椭圆C的方程(2)过点P(0...

已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的离心率为根号6/3,且经过点(3/2,1/2) (1)求椭圆C的方程(2)过点P(0,2)的直线交椭圆C于A,B两点，求三角形面积AOB最大值

Answer 1

（Ⅰ）由 e2=（a2－b2）/a2 =1- b2/a2= 2/3，得 b/a= 13再由椭圆C经过点( 3/2，1/2)，能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线方程为y=kx+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0．再由根的判别式和韦达定理能够求出三角形面积的最大值．解答： 

（Ⅰ）解：由 e2=
(a2-b2)/a2=1-b2/a2=2/3，
得 b/a=1/根号3．   ①
由椭圆C经过点(3/2，1/2)，得9/4a2+1/4b2=1．    ②
联立①②，解得 b=1，a=根号3
3．  所以椭圆C的方程是 x2/3+y2=1． 
（Ⅱ）解：易知直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去y得 （1+3k2）x2+12kx+9=0．
令△=144k2-36（1+3k2）＞0，得k2＞1．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-12k/(1+3k2，x1x2) ,x1x2=9/(1+3k2)． 

所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|=1/2×2×|x1-x2|=|x1-x2|．     
因为 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-12k/1+3k2)2-36/(1+3k2)=36(k2-1)/(1+3k2)2，
设 k2-1=t（t＞0），
则 (x1-x2)2=36t/(3t+4)2=36/(9t+16t+24)≤36/(2根号（9t×16t）+24）=3/4．   
当且仅当9t=16/t，即t=4/3时等号成立，
此时△AOB面积取得最大值：根号3/2．

 

打得好累，亲，望采纳喔~   ^o^

Answer 2

第一问：已知过一点带入方程，得一式子，知道离心率可以得第二个式子，又椭圆a方加b方等于c方，得三式子，第一问解决。
第二问：有点复杂，你是高中的吧，方法，极限法，一般这是高中几何必做的题，直线过p点可以用y等于2就是它的直线方程，下面就是简单的求三角形面积啦。（不用我详细写啦吧）
希望给个最佳，主要是你练得 少啦这类题，这是属于高中的基础的几何题。

Answer 3

54π

Answer 4

很EASY啊