Question

初等行变换求矩阵的逆矩阵

A=
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1
求A^-1 如何化解？

A.E- E.A^-1 化简不来感觉很难化简

1 2 2 1 0 0
2 1 -2 0 1 0
2 -2 1 0 0 1 变换为

1 0 0 X X X
0 1 0 X X X
0 0 1 X X X

Answer 1

其实这个也不难
首先因为要把左边的几列化为单位阵 ，要把某行首元为1的经过行变换到第一行，当然这里不用了，因为第一行的第一个元素就是1，其他行与第一行做运算，就是用其他行加上或者减去n倍的第一行，使第一列除了第一行有个一之外，1下边的就只剩下0了 先不看第一行 ，其他行的运算不论怎么加减第一列肯定不变了，相同的方法处理第二行 第三行……最后使原来的矩阵化成了一个上三角型的矩阵（当然，在行变换的时候原来右边的单位阵也是要跟着变换的），然后用上边的行减去下边的行 就能变为单位阵了，相对应的右边就是原来矩阵的逆阵 你自己再思考一下

Answer 2

题:
矩阵A与幺阵的(横)并矩阵 (注: 竖并也可以, 其时用初等列变换) 为:
1 2 2 1 0 0
2 1 -2 0 1 0
2 -2 1 0 0 1
用初等变换求A逆, 即并矩阵变成E | A_
解:
我试了一下, 用初等变换求逆矩阵有时常常碰到分数, 如果是手工计算,很烦.
方法一:
这一点可以这样解决, 在中间过程中, 只要求得到对角阵Λ. 而Λ的逆是它的各个数取倒数.
然后将 A | E 变成 Λ | B, 则 Λ^(-1)* B = A_

方法二:
用解线性方程的逆方法或消去法来求逆.
A=
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1
先乘以一个向量, 使它的出现Λ或E的列向量之一, 然后逐步修正和合并,(中间可能经过三角阵,最后)成为对称阵或单位阵.

方法三:
对于二到三阶的情况, 用伴随阵也好做.

Answer 3

解: (A,E)=
1 2 2 1 0 0
2 1 -2 0 1 0
2 -2 1 0 0 1

r2-2r1,r3-2r1
1 2 2 1 0 0
0 -3 -6 -2 1 0
0 -6 -3 -2 0 1

r3-r2
1 2 2 1 0 0
0 -3 -6 -2 1 0
0 0 9 2 -2 1

r2*(-1/3), r3*(1/9)
1 2 2 1 0 0
0 1 2 2/3 -1/3 0
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

r2-2r3
1 2 2 1 0 0
0 1 0 2/9 1/9 -2/9
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

r1-2r2-2r3
1 0 0 1/9 2/9 2/9
0 1 0 2/9 1/9 -2/9
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

所以 A^-1 =
1/9 2/9 2/9
2/9 1/9 -2/9
2/9 -2/9 1/9

事实上, A^2 = 9E
所以 A^-1 = (1/9)A