Question

∑(x=0,∞)(x-2)^n/2^(n+1)的收敛域。

书上是这样求的，-1<(x-2)/2<1,所得级数的收敛域为0<x<4.
但是在我看来，(x-2)/2除以的这个2好像是多余的，我觉得是-1<x-2<1,所以收敛域是1<x<3.而且我翻看以前的考试试卷也都是按照我的办法才能得出答案，是不是书上的例题错了？

Answer 1

不多余的。
你所计算的收敛域在答案的范围之内，是个充分不必要条件。

x≥3的时候也可以收敛的。
直接计算x=3
原式收敛=1/4 /(1-1/2)
=1/2

相当于等比数列：(x-2)^n/2^(n+1)的公比是（x-2）/2
所以答案是对的。
收敛域为0<x<4.

希望能解决你的疑问O∩_∩O~

追问

那将f(x)=1/(1+x)展开成(x-1)幂级数时，其收敛域是（-1，3）。这是我们试卷的，讲评过的，这题明显也是有把一个1/2提出来的，但是就没有乘以1/2呢，还是我算错了！

追答

提不提出来1/2，都无所谓的，只要后边的式子是收敛的，提出10000还是收敛的。
主要是2^n+1，内部也是有1/2的，必须算进去。

追问

那将f(x)=1/(1+x)展开成(x-1)幂级数时，其收敛域是（-1，3）。那这句话是对是错呢？

追答

∑(x=0,∞)(x-2)^n/2^(n+1)
=1/2/(1-(x-2)/2)
=1/(4-x)