Question

设f（x）=-1/3x^3+1/2x^2+2ax 若f（x）在（2/3，正无穷）上存在单调增区间，求a的范围

Answer 1

f '(x)=-x²+x+2a
因为f（x）在（2/3，正无穷）上存在单调增区间
所以f '(x)在（2/3，+∞）在有f '(x)＞0
对称轴x=1/2＜2/3
所以只需f '(2/3)＞0，即-4/9+2/3+2a≥0，解得a≥1/9

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追问

那个导数该是 f'(x)=-x²+x+2a吧

追答

f '(x)=-x²+x+2a
因为f（x）在（2/3，正无穷）上存在单调增区间
所以f '(x)在（2/3，+∞）在有f '(x)＞0
对称轴x=1/2＜2/3
所以只需f '(2/3)＞0，即-4/9+2/3+2a≥0，解得a≥-1/9

Answer 2

y'=-x^2+x+2a
根据题意有，当x>2/3的时候，有y'>0.
则有：f(2/3)'>0.即：
-4/9+2/3+2a>0
所以：a>-1/9.

Answer 3

原函数的导函数f(x)'＝-x^2+x+2a，x>2/3时，f(x)'>0，解出a的取值范围。