在三角形abc中,ab=5,ac=3,d为bc的中点,且ad=4,求bc
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设 BD = CD = x 。
由余弦定理可得:
cos∠ADB = (BD²+AD²-AB²)/(2*BD*AD) = (x²-9)/(8x) ;
cos∠ADC = (CD²+AD²-AC²)/(2*CD*AD) = (x²+7)/(8x) ;
因为,∠ADB+∠ADC = 180° ,
所以,cos∠ADB+cos∠ADC = 0 ,
可得:(x²-9)/(8x)+(x²+7)/(8x) = 0 ,(其中 x>0 )
解得:x = 1 ,
可得:BC = BD+CD = 2x = 2
由余弦定理可得:
cos∠ADB = (BD²+AD²-AB²)/(2*BD*AD) = (x²-9)/(8x) ;
cos∠ADC = (CD²+AD²-AC²)/(2*CD*AD) = (x²+7)/(8x) ;
因为,∠ADB+∠ADC = 180° ,
所以,cos∠ADB+cos∠ADC = 0 ,
可得:(x²-9)/(8x)+(x²+7)/(8x) = 0 ,(其中 x>0 )
解得:x = 1 ,
可得:BC = BD+CD = 2x = 2
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解:延长AD,使DE=AD,连接BE
因为D为BC的中点
所以DC=BD
因为角ADC=角EDB
所以三角形ADC和三角形EDB全等(SAS)
所以AC=BE
因为AB=5 AE=AD+DE=4+4=8 AC=BE=3
由余弦定理得:
cos角BAD=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
所以角BAD=(5^2+8^2-3^2)/2*5*8=1
所以角BAD=90度
所以在直角三角形BAD中,由勾股定理得:
BD^2=AB^2+AD^2
所以BD=根号41
所以BC=2倍根号41
因为D为BC的中点
所以DC=BD
因为角ADC=角EDB
所以三角形ADC和三角形EDB全等(SAS)
所以AC=BE
因为AB=5 AE=AD+DE=4+4=8 AC=BE=3
由余弦定理得:
cos角BAD=(AB^2+AE^2-BE^2)/2*AB*AE
所以角BAD=(5^2+8^2-3^2)/2*5*8=1
所以角BAD=90度
所以在直角三角形BAD中,由勾股定理得:
BD^2=AB^2+AD^2
所以BD=根号41
所以BC=2倍根号41
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设BC边为x,则由D为BC中点,可得BD=DC=x/2
在△ADB中
cosADB=(AD^2+BD^2-AB^2)/(2AD*BD)
=[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)
在△ADC中
cosADC=(AD^2+DC^2-AC^2)/(2AD*DC)
=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
又∠ADB+∠ADC=80°
∴cosADB=cos(180°-ADC)-cosADC
∴[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
解得:
x=2
∴BC长为2
但是三边为2、3、5构不成三角形,所以这个三角形不存在
在△ADB中
cosADB=(AD^2+BD^2-AB^2)/(2AD*BD)
=[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)
在△ADC中
cosADC=(AD^2+DC^2-AC^2)/(2AD*DC)
=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
又∠ADB+∠ADC=80°
∴cosADB=cos(180°-ADC)-cosADC
∴[4^2+(x/2)^2-5^2]/(2*4*x/2)=[4^2+(x/2)^2-3^2]/(2*4*x/2)
解得:
x=2
∴BC长为2
但是三边为2、3、5构不成三角形,所以这个三角形不存在
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