Question

如图，在△ABC内有一点P，问：（1）能否在BA、BC边上各找一点MN，使△PMN周长最短第一问不用做，重要第二问

若∠ABC=40°，在1问的条件下，能否求出∠MPN的度数，若能，请求。若不能，写理由

Answer 1

设PP'和AB交点为D,PP''和BC交于点E,
因为P和P'是对称点
所以PP'⊥AB
同理PP''⊥BC
所以在四边形BDPE中，∠P'PP''=360-90-90-∠B=140°
设∠P'=α，∠P''=β，
因为MP=MP'
所以∠PMN=2α，∠PNM=2β,
依题意，得，
∠P'PP''=α+β+∠MPN=140,
2α+2β+∠MPN=180°
解得∠MPN=100°

Answer 2

由（1）知PP＇⊥AB，PP＂⊥BC，利用四边形内角和360°得∠P＇PP＂=140°，又∵MP=MP′∴∠PMN=2∠P＇，同理∠PNM=2∠P＂，∴∠MPN=180°-∠PMN-∠PNM=180°-2（∠P＇+∠P＂）=180°-2（180°-∠P＇PP＂）=180°-2（180°-140°）=100°

Answer 3

连结BP、BP`、BP``,则BP`=BP``,△BP`M全等于△BPM，△CP``N全等于△CPN，
∠P`BP``=80°，所以∠BP`M=∠BPM=∠BP``N=∠BPN=50°
所以∠MPN=100°