Question

不用柯西不等式怎么证明a+b+c=1,1/a+b+1/a+c+1/b+c>=9/2

Answer 1

很难想到不用柯西的证明方法，以下证法不够严谨。。。
将a+b+c=1条件代入不等式左边，将c消掉，即证1/(a+b)+1/(1-b)+1/(1-a)>=9/2
设不等式左边为f(a,b)对a和b求偏导，并令偏导数为零，可以得到1-a=a+b,1-b=b+a
由此可得，f(a,b)的最小值为f(1/3,1/3)=9/2
或者可以这样理解，不等式右侧为a,b,c的齐次轮换式（a,b,c顺次交换位置式子不变），即a,b,c地位相同。同时a,b,c之和恒定，那么取极值的时候一定是a=b=c的时候

Answer 2

1 的代换啊，把分子1全部换成a+b+c，然后配对一下，用基本不等式