Question

求极限limx→∞(√(x^2+1))-√(x^2-1)) 我知道答案，我要求过程

Answer 1

分子有理化（就是分子、分母同乘以 √(x^2+1)+√(x^2-1) ）
得 原式=2/[√(x^2+1)+√(x^2-1)] ，
因此所求极限为 0 。

Answer 2

用泰勒级数和等价无穷小，
令t=1/x,
求t->0时候的极限即可，此时分母=e^(t)-1->t
分子
ln(x+√(x^2+1))-ln(x+√(x^2-1))=lnx+ln(1+√1+(1/x^2))-[lnx+ln(1+√1-(1/x^2))]
=ln(1+√1+(1/x^2))-ln(1+√1-(1/x^2))
=ln(1+√(1+t^2))-ln(1+√(1-t^2))
->ln(1+1+t^2/2+o(t^2))-ln(1+1-t^2/2+o(t^2))
=ln2+ln(1+t^2/4+o(t^2))-ln2-ln(1-t^2/4+o(t^2))
=ln(1+t^2/4+o(t^2))-ln(1-t^2/4+o(t^2))
=(t^2/4+o(t^2))-(-t^2/4+o(t^2))
=t^2/2
所以
原极限=lim(t->0)
[(t^2/2)/t]=0

Answer 3

√(x^2+1)-√(x^2-1)化为2/(√(x^2+1)+√(x^2-1))
因为当x趋于无穷√(x^2+1)+√(x^2-1)也趋于无穷
所以结果为0

希望对你也有帮助

Answer 4

limx→∞(√(x^2+1))-√(x^2-1))
=lim（x→∞）{x[√(1+1/x^2)-√(1-1/x^2)]}
=lim（x→∞）{x[(1+1/x^2)^0.5-(1-1/x^2)^0.5]}
=lim（x→∞）{x[(1+0.5*1/x^2)-(1-0.5*1/x^2)]}
=lim（x→∞）[x*(1/x^2)]
=lim（x→∞）(1/x)
=0

Answer 5

分子有理化
乘√(x²+1)+√(x²-1)
则分子=(x²+1)-(x²-1)=2
原式=lim2/[√(x²+1)+√(x²-1)]
分母趋于无穷
所以原式=0