Question

点O是三角形ABC所在平面内一动点，连接OB、OC，并将AB、OB、OC、AC中点D、E、F、G，依次连接起来，设DEFG能

设DEFG能构成四边形．
（1）如图，当点O在△ABC内时，求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当点O在△ABC外时，（1）的结论是否成立？（画出图形，指出结论，不需说明理由；）
（3）若四边形DEFG是菱形，则点O的位置应满足什么条件？试说明理由．

Answer 1

1）D、G、E、F都是中点

所以，DG∥EF∥BC；DE∥GF∥AO；

所以，DEFG是平行四边形；

2）当点O在△ABC外时，结论成立

3）若四边形DEFG是菱形，则点O的轨迹为以A为圆心BC为半径的圆。 

 

Answer 2

第一问，图中DEFG分别为AB,BO,CO,AC的中点，连接AO，则DE,EF,FG,GD,分别为三角形ABO,BOC,COA,ABC的中位线，相互平行并且等于各自三角形底边的一半，三角形ABO和三角形COA共底边，所以DE=FG，三角形ABC和BOC共底边，所以DG=EF，所以一结论成立。
第二问，同理结论也成立。
第三问，若DEFG为菱形，根据一，可的，DEFG四边所在三角形的底边必须相等，即O点与A之间的距离OA必须等于三角形ABC的底边BC的长度，即AO=BC。

Answer 3

（1），图中DEFG分别为AB,BO,CO,AC的中点，连接AO，则DE,EF,FG,GD,分别为三角形ABO,BOC,COA,ABC的中位线，相互平行并且等于各自三角形底边的一半，三角形ABO和三角形COA共底边，所以DE=FG，三角形ABC和BOC共底边，所以DG=EF，所以一结论成立。
(2)，同理结论也成立。
(3)，若DEFG为菱形，根据一，可的，DEFG四边所在三角形的底边必须相等，即O点与A之间的距离OA必须等于三角形ABC的底边BC的长度，即AO=BC。