Question

已知f(x)=sinx+sin(π/2-x),若a属于[0,π]且sin2a=1/3,球f(a)的值；若x属于[0,π]，求f(x)的单调增区间

Answer 1

解析：
(1) 由已知得：f(x)=sinx+sin(π/2 -x)=sinx+cosx
若a属于[0,π]，那么：2a属于[0,2π]
又sin2a=1/3<1/2，那么：
0<2a<π/6或5π/6<2a<π
即0<a<π/12或5π/12<a<π/2
则可知角a是第一象限角
即有：sina+cosa>0
因为(sina+cosa)²=sin²a+2sinacosa+cos²a=1+sin2a=4/3
所以解得：f(a)=sina+cosa=2(根号3)/3
.
(2) 由(1)可得：f(x)=sinx+cosx=根号2*sin(x+ π/4)
若x属于[0,π]，那么：x+π/4 属于[π/4，5π/4]
则可知当x+π/4 属于[π/4，π/2]即x属于[0，π/4]时，函数f(x)是增函数
所以f(x)的单调递增区间为[0，π/4]。

Answer 2

解：（1）∵α∈[0，π]，∴sinα＞0
∴f（α）=sinα+cosα
又sin2α=1/ 3 =2sinα•cosα＞0，
∴α∈（0，π /2 ），sinα+cosα＞0
由（sinα+cosα）²=1+2sinα•cosα=4/ 3 ,
∴sinα+cosα=2√3 / 3 ，
∴f （α）=2√3 / 3
（2）由（1）知f （x）= 2 sin（x+π /4 ），
当2kπ-π /2 ≤x+π /4 ≤2kπ+π /2 （k∈Z）时，f（x）是单调递增
∴2kπ-3π /4 ≤π≤2kπ+π/ 4 （k∈Z）
又0≤x≤π,
∴f（x）的单调递增区间为[0，π/ 4 ].