Question

已知函数f(x)=x^3-ax-1.

.(1)若a≤0,请用两种方法证明函数f(x)在R上单调递增函数

Answer 1

证明：
方法1：f(x+1)=(x+1)^3-a(x+1)-1
f(x+1)-f(x)=3x^2+3x^2+1-a
由于3^2-4*3*(1-a)=12a-3且a<=0，
所以f(x+1)-f(x)>0恒成立
所以f(x)在R上单调递增
方法2：f'(x)=3x^2-a
因为3x^2>=0,a<=o
所以f'(x)>=0在R上恒成立
所以f(x)在R上单调递增
证明完毕
方法2是求导方法，不知道你哪个年级，教材用的哪种，所以不知道你学没学过，高中总会学到的。其他方法我也想不出来了。

Answer 2

﹙1﹚∵y＝x³在R上单调递增，y＝－ax在R上单调递增或为0
∴f﹙x﹚＝x³－ax－1在R上单调递增
﹙2﹚设x1＞x2，且x1,x2,∈R
则f﹙x1﹚－f﹙x2﹚＝x1³－ax1－1－﹙x2³－ax2－1﹚＝﹙x1³－x2³﹚＋﹙ax2－ax1﹚
∵x1＞x2，∴x1³＞x2³，|ax1|＞|ax2|，又∵a≤0，∴ax2－ax1≥0
∴ f﹙x1﹚－﹙fx2﹚＞0，∴f﹙x1﹚＞f﹙x2﹚，f﹙x﹚在R上单调递增

Answer 3

f'=3x^2-a
∵-a≥0，x^2≥0
∴f'≥0
又f‘只在有限个离散的点上取0
∴f(x)在R上单调递增函数