Question

设函数f(x)的图像关于点（1，2）对称，且存在反函数f^-1(x)，f(4)=0.则f^-1（4）等于多少？

想了解一下为什么可以由函数关于点（1,2)这个条件得出以下结论
f^-1(x)的图像关于四暗（2,1）对称，由此f-1（x)+f-1（4-x)=2
想了解一下为什么可以由函数关于点（1,2)这个条件得出以下结论
f^-1(x)的图像关于点（2,1）对称，由此f^-1（x)+f^-1（4-x)=2

Answer 1

这是解高中反函数时的一个常用技巧，即将函数（具有反函数）图像以直线y=x做一个翻转，所得的新函数图像即为y = f^-1 (x)的图像。
原因是，这样的变换将点（x,y）变换为点(y,x),从而将点(x, f(x))变为(f(x), x).
令z=f(x),则x=f^-1(z).于是f的图像经过变换后，变为：所有(f(x), x)的点组成的集合，即为所有(z, f^-1(z))的点的集合，即为f^-1(x)的图像。
因此f^-1(x)的图像关于点（2,1）对称。
由(2,1)为(x, f^-1(x))与(4-x, f^-1(4 - x))的中点，计算得f^-1（x)+f^-1（4-x)=2 (*)。
最后由f^-1(0)=4，代入(*)式即f^-1(4)=-2.

追问

关于点（2,1）对称懂了，但由(2,1)为(x, f^-1(x))与(4-x, f^-1(4 - x))的中点，计算得f^-1（x)+f^-1（4-x)=2 (*)。这一步好像还有点不太明白(x, f^-1(x))与(4-x, f^-1(4 - x))是哪来的，能解释一下吗，谢谢

追答

我换一个说法吧。(x,f^-1(x))关于(2,1)的中心对称点为(w,f^-1(w))（因为函数图像的对称性这个点应该在函数图像上）。中心对称要求(2,1)是其他两个点的中点，因此
1.x+w = 4,因此w = 4-x.
2.f^-1(x) + f^-1(w) = 2,即(*)式.
抱歉啊。。