已知函数f(x)=x^2+aln x+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

暖眸敏1V
2012-07-13 · TA获得超过9.6万个赞
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f'(x)=2x+a/x-2/x²

∵在[1,+∞)上是单调函数,
若递增则 f'(x)≥0恒成立
,即2x+a/x-2/x²≥0,a/x≥2/x²-2x,
即a≥2/x-2x²恒成立
设g(x)=2/x-2x²
需a≥g(x)max
∵ g'(x)=-2/x²-4x<0
∴g(x)是减函数
∴ g(x)max=g(1)=0
∴a≥0

若f(x)在[1,+∞)上是单调递减函数,
则a≤2/x-2x²恒成立,此时a不存在

∴实数a的取值范围.a≥0
feidao2010
2012-07-13 · TA获得超过13.7万个赞
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解答:
由已知,
f'(x)=2x+a/x-2/x²在[1,+∞)上恒非负,或恒非正
(1)2x+a/x-2/x²≥0在[1,+∞)上恒成立
a≥2/x-2x²在[1,+∞)上恒成立
g(x)=2/x-2x²在[1,+∞)上是减函数,
最大值为g(1)=2-2=0
所以 a≥0
(2)2x+a/x-2/x²≤0在[1,+∞)上恒成立
a≤2/x-2x²在[1,+∞)上恒成立
g(x)=2/x-2x²在[1,+∞)上是减函数,可以趋于负无穷大
不能恒成立,

综上 a≥0
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