Question

已知f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-7在x=x0处取得极小值，若x0属于（1，3），求a的取值范围。

Answer 1

f'(x)=3x^2+6ax+3-6a
=3(x^2+2ax+1-2a)
=3(x-1)[x-(1-2a)]
令f'(x)=0得x1=1,x2=1-2a

∵f(x)在x=x0处取得极小值
∴x1=1是极大值点，x2= 1-2a是极小值点
这样x<1时，f'(x)>0,1<x<1-2a时，f'(x)<0,x>1-2a时，f'(x)>0
符合题意
∴x0=x2=1-2a 由1<1-2a<3 得-1<a<0
∴a的取值范围是-1<a<0

Answer 2

f(x)=x^3+3ax^2+(3-6a)x+12a-7
=x[x^2+3ax+(3-6a)]+12a-7
=x[x^2+3ax+(3/2a)^2+3-6a-(3/2a)^2)]+12a-7
=x[(x+3/2a)^2+7-(4+6a+(3/2a)^2)]+12a-7
=x[(x+3/2a)^2-(3/2a+2)^2+7]+12a-7
=x[(x+3a+2)(x-2)+7]+12a-7
因为要取极小值
当1<X<2时,x+3a+2>0
a>(-2-x)/3
a>-4/3
当2<x<3时，x+3a+2<0
a<(-2-x)/3
a<-4/3
当=2时，a值与极小无关无法确定
所以
a>-4/3或
a<-4/3