Question

如图所示,在△ABC中, ∠CAB=90°, AD ⊥BC于D,BE是∠ABC的平分线,交AD于F,求证：DF/AF=AE/EC

Answer 1

证明：
做EG⊥BC于G
∵BE是角B的平分线
∴AE=GE .....(1)

∵AD⊥BC
∴角FAB=90°-角B=角C
又：角CBE=角ABF
∴△CBE∽△ABF
∴AF/EC=BF/BE ......(2)

∵FD⊥BC，EG⊥BC
∴△BDF∽△BGE
∴DF/GE=BF/BE ......(3)

由（2）、（3）得：
AF/EC=DF/GE .....(4)
将（1）代入（4）得：
AF/EC=DF/AE
∴DF/AF=AE/EC

Answer 2

证明：
因为 ∠CAB=90°, AD ⊥BC于D
所以 ∠ CAB=∠ADB=90,
因为 ∠ABD为公共角
所以△ABD∽△CBA
所以AB/BD=CB/BA
因为BE是∠ABC的平分线
所以在△ABD中，AB/BD=AF/DF(角平分线定理)
所以AF/DF=CB/BA
同理在△ABC中，CB/AB=CE/EA（角平分线定理）
所以AF/DF=CE/AE
即DF/AF=AE/EC