Question

在三角形ABC中，三个内角A.B.C对应的边分别为a.b.c，且A.B.C成等差数列，a.b.c成等比数列，证明：三角...

在三角形ABC中，三个内角A.B.C对应的边分别为a.b.c，且A.B.C成等差数列，a.b.c成等比数列，证明：三角形ABC为等边三角形

Answer 1

证明:不妨设A>B>C，则a>b>c.
依题，A.B.C成等差数列,故B=60°
根据余弦定理b^2=a^2+c^2-2accos60°=a^2+c^2-ac
又依题a.b.c成等比数列，故ac=b^2
所以ac=a^2+c^2-ac
即a^2+c^2-2ac=0
(a-c)^2=0
所以a-c=0即a=c
A=C=60°=B，
即三角形ABC是等边三角形
得证

Answer 2

A+C=2B;
2B+B=180°;
B=60°;
b²=ac;
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2;
2a²+2c²-4ac=0;
2(a-c)²=0;
a=c;
∴a=b=c;
∴三角形ABC为等边三角形