Question

已知数列{an}满足a1=0,a2=2 ，且对任意m,n∈N* 都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(m-n)^2.

(1) 求证： a(n+1)-a(n)=n.
(2)写出数列{an}通项公式.
方法简单的优先 ！-_-。sorry！应证明 a(n+1)-an=2n

Answer 1

(1)应证明 a(n+1)-an=2n
(1)
对任意m,n∈N* 都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(m-n)^2
又a1=0.a2=2
取m=2, n=1
a3+a1=2a2+2(2-1)^2
a3=2a2-a1+2=6

取m=1,
则 a1+a(2n-1)=2an+2(n-1)^2
a(2n-1)=2an+2(n-1)^2 ①
取m=2,
则a3+a(2n-1)=2a(n+1)+2(2-n)^2
a(2n-1)=2a(n+1)+2(n-2)^2-6 ②
②-①: 2a(n+1)-2an+2(n-2)^2-2(n-1)^2-6=0
∴ 2a(n+1)-2an-4n=0
∴a(n+1)-an=2n
(2)
n≥2时，
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=6
................
an-a(n-1)=2(n-1)
将上面(n-1)个等式两边相加
an-a1=2+4+6+........+2(n-1)=[2+2(n-1)]*(n-1)/2
an=n(n-1)
当n=1时，上式仍成立
∴an=n²-n (n∈N*)

Answer 2

题目对不对啊，将a1=0代入a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(m-n)^2中
0=2(m-n)^2
m=n才成立的又不对应任意m,n∈N*

a(n+1)-a(n)=n
你将a1和a2带进去都不对的
a（1+1）-a（1）=2 都不等于1

Answer 3

(1)对任意m,n∈N* 都有a(2m-1)+a(2n-1)=2a(m+n-1)+2(m-n)^2
又a1=0.a2=2
取m=2, n=1
a3+a1=2a2+2(2-1)^2
a3=2a2-a1+2=6

取m=1,
则 a1+a(2n-1)=2an+2(n-1)^2
a(2n-1)=2an+2(n-1)^2 ①
取m=2,
则a3+a(2n-1)=2a(n+1)+2(2-n)^2
a(2n-1)=2a(n+1)+2(n-2)^2-6 ②
②-①: 2a(n+1)-2an+2(n-2)^2-2(n-1)^2-6=0
∴ 2a(n+1)-2an-4n=0
∴a(n+1)-an=2n
(2)
n≥2时，
a2-a1=2
a3-a2=4
a4-a3=6
................
an-a(n-1)=2(n-1)
将上面(n-1)个等式两边相加
an-a1=2+4+6+........+2(n-1)=[2+2(n-1)]*(n-1)/2
an=n(n-1)
当n=1时，上式仍成立
∴an=n²-n (n∈N*)

Answer 4

a2-a1=2 就不满足
a(n+1)-a(n)=n，
是否题目有问题？

Answer 5

请参考下图：