Question

如图,直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,

如图,直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速直线运动：动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N.P、Q两点同事停止运动.设点Q运动时间为t秒.（1）求NC、MC的长（用t的代数式表示）（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形

Answer 1

解：（1）∵AQ=3-t，
∴CN=4-（3-t）=1+t．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42，
∴AC=5．
在Rt△MNC中，cos∠NCM=NCMC=45，CM=5+5t4；

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形，
∴PC=QD，即4-t=t，
解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：
MC+NC=AM+BN+AB，
即：54（1+t）+1+t=12（3+4+5），
解得：t=53．（5分）
而MN=34NC=34（1+t），
∴S△MNC=12×
34（1+t）2=38（1+t）2，
当t=53时，S△MNC=38（1+t）2=83≠12×
12×4×3．
∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分；

（4）①当MP=MC时；（如图）
则有：NP=NC，
即PC=2NC∴4-t=2（1+t），
解得：t=23；
②当CM=CP时；（如图）
则有：54（1+t）=4-t，
解得：t=119；
③当PM=PC时；（如图）
则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2，
而MN=34NC=34（1+t），
PN=|PC-NC|=|（4-t）-（1+t）|=|3-2t|，
∴[34（1+t）]2+（3-2t）2=（4-t）2，
解得：t1=10357，t2=-1（舍去）
∴当t=23，t=119，t=10357时，△PMC为等腰三角形．

Answer 2

(1)AQ=BN=3-t,NC=BC-BN=t+1,三角形NCM相似于三角形BCA,所以MC/AC=NC/BC,所以MC/NC=AC/BC所以MC/(t+1)=[根号下（3²+4²）]/4所以MC=5t/4+5/4
(2)即QD=PC
t=4-t
t=2
(3)要使面积相等，即S△MNC=3
即MN乘NC乘1/2=3
MN乘（4/3）MN乘1/2=3
MN=（三倍根号二）/2
此时C（MC+NC)=（九倍根号二）/2
C三角形ABC=12≠6根号二乘2
所以不存在
（4）PC=4-t
MC=5t/4+5/4
PM²=PN²+MN²=(BP-BN)²+MN²=[t-(3-t)]+(QN-QM)²=（2t-3)²+[3-3（3-t)/4]²=73t²/16-12t+9
分类讨论
①若PC=PM,分别平方
............................................
求得t=(32±16倍根号下463）/57
要满足0≤t≤3，都舍去
②若PC=MC，则...........得出t=11/9
③若MC=PM,则............求出t=(37±根号下601）/12,舍去
综上所述当t=11/9时，△PMC为等腰三角形