Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G、H分别是各边AB、BC、CD、DA的中点

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G、H分别是各边AB、BC、CD、DA的中点 (1)四边形EFGH一定是( ? )形
(2)要使四边形EFGH是菱形，清先添加一个条件：( ? )，在进行证明。

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Answer 1

（1）一定是平行四边形
连接梯形对角线BD
因为E H G F 是四边的中线
所以EH平行且等于二分之一BD
GF平行且等于二分之一BD
所以EH平行且等于GF
根据平行四边形的判定定理所以得出它为平行四边
（2）添加的条件是AB=DC
当AB=DC时梯形ABCD就为等腰梯形
所以角BAD=角ADC
又因为AE=DG
AH=DH
所以三角形AEH全等三角形DHG
所以EH=HG
第一问已经证明它是平行四边形
所以当 AB=DC时四边形为棱形

Answer 2

解：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，∴EH=GF=12BD，HG=GF=12AC；EH∥BD∥GF，HG∥AC∥EF．
①当AC=BD，EH=GF=HG=GF，四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，EH⊥EF，四边形EFGH是矩形．
③当AD=DC，对角线不一定相等，四边形不能确定是EFGH是菱形．
④当∠C=∠D时，梯形ABCD是直角梯形，对角线不相等，四边形EFGH是菱形．

Answer 3

（1）EH||=(1/2)BD||=FG
EF||=(1/2)AC||=HG
四边形EFGH一定是(平行四边行)形
（2）角B=角C
证明：已知角B=角C，所以AB=DC
所以AE=DG
所以在三角形AEH和三角形DGH中，HE=HG
所以四边形EFGH是菱形

Answer 4

1)一定是平行四边形
连接AC，则：EF//AC，HG//AC，则：EF//HG。
同理：EH//FG
2）条件：AC=BD
EF=HG=1/2AC=EH=FG==1/2BD

Answer 5

由中位线可得，FG=EH,EF=HG. 所以四边形EFGH为平行四边形 条件：ABCD为等腰梯形