Question

几个“函数与极限”的问题————

1.f(x)=(e^(1/x)-1)/(e^(1/x)+1)，则x=0是f(x)的跳跃间断点，何以见得？
2.介值定理可曾被证？
3.某区间内一致连续可否理解成：在该区间内斜率有界？
4.“f(x)在x[0]的某一去心邻域内有界”是“lim{x趋近于x[0]}(f(x))存在 ”的____条件，答案是“必要”，何以见得？
如是
，无界却有极限？
无界 同时 存在极限；

有问题吗？

Answer 1

跳跃间断点是指左右极限都存在但是不相等的情况。
介值定理是定理，它不是公理，肯定是被证明过的。
第3个问题中的一致连续，我不大理解，请您解释一下。第4个问题，我感觉是你的概念性错误，无界就是没有极限。有极限就是有界。还有就是它一定是必要条件，你想想跳跃间断点就好了

Answer 2

（1）左极限为-1，右极限为1，跳跃间断点
（2）没有被证明这么能称为定理（证明中可能需要最小覆盖定理）
（3）有限区间可以如此理解，但无限区间不对。
（4）必要条件，极限的定义是x趋于x[0]，但不等于x[0]时和 某数误差小于任意正数。
你画的图有问题，已经是在任何x[0]领域内无界的啦。
说其是必要条件是说明 极限存在 ==》某邻域内有界
但某邻域内有界不能说明极限一定存在（可参考第一题函数）

Answer 3

那个去心领域真的有界吗？显然无界。