Question

已知点A（1,5），点B（3，-1）两点，在X轴上取一点M,使AM-BM 取得最大值时， 则M的坐标为（ ）？

Answer 1

解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．

不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．

则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．

∴M′A-M′B＜AM-BM，即此时AM-BM最大．

∵B′是B（3，-1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：

   k+b=5

 3k+b=1     

解得

   k=-2

   b=7     

∴直线AB′解析式为y=-2x+7．

令y=0，解得x=3/2 

∴M点坐标为（7/2,0）．

故答案为：M（7/2,0）． 

Answer 2

解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．

不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．

则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．

∴M′A-M′B＜AM-BM，即此时AM-BM最大．

∵B′是B（3，-1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：

   k+b=5

 3k+b=1     

解得

   k=-2

   b=7     

∴直线AB′解析式为y=-2x+7．

令y=0，解得x=3/2 

∴M点坐标为（7/2,0）．

故答案为：M（7/2,0）． 

Answer 3

解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM-BM=AM-B′M=AB′．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B′．
则M′A-M′B=M′A-M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A-M′B＜AM-BM，即此时AM-BM最大．
∵B′是B（3，-1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．
设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：
k+b=5 3k+b=1，解得k=-2b=7，
∴直线AB′解析式为y=-2x+7．
令y=0，解得x=7/2，
∴M点坐标为（7/2，0）．

Answer 4

（3，0）