Question

如图,点D是等腰三角形ABC的斜边AB上的一个动点(不与A、B重合),过点D作DE⊥AB交边AC于点F，联结BE.

∠E=30°，AB=4.设DE的长度为x，四边形DBCF的面积为y.
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定义域.
（2）联结BF，①当△BDF与△EDB相似时，求出x的值；②是否存在x的值，使得△BCF与△EDB相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.【请详细解答，告诉我解题技巧】
补充 △ABC是等腰直角三角形。

Answer 1

（1）
作CG⊥AB交于G ，
∵ 等腰Rt△ABC ，AB=4 ，
∴ AG=BG=CG=2 ，
∵ DE=x ，DE⊥AB ，∠E=30°，
∴ BD=√3x/3 ，DG=√3x/3 - 2 ，DF=DA=4 - √3x/3 ，
∴ 四边形DBCF的面积
y = S梯形CFDG + S△BCG
= ( 2+ 4 - √3x/3 ) ( √3x/3 - 2 ) / 2 + 2*2 / 2
= - x² / 6 + 4√3x/3 -4 ，（0＜x＜2）。
（答案以这个为准 。有问题请说）

（2）

追问

∵ DE=x ，DE⊥AB ，
∴ DA=x

DE=DA=x ？？

追答

（1）
解法1：
作CG⊥AB交于G ，
∵ 等腰Rt△ABC ，AB=4 ，
∴ AG=BG=CG=2 ，∠A=45°，
∵ DE=x ，DE⊥AB ，∠E=30°，
∴ BD=√3x/3 ，DG=√3x/3-2 ，AD=FD=4-√3x/3 ，

∴ 四边形DBCF的面积：
y = S梯形CFDG + S△BCG
= (CG+FD)(DG)/2 + BG*CG/2
= (2+ 4-√3x/3)(√3x/3-2)/2 + 2*2/2
= - x²/6 + 4√3x/3 - 4 ，（2√3＜ x ＜4√3）。

Answer 2

∠C多少度？？？

追问

因为是等腰直角三角形 所以∠C=90°啊

追答

解(1)：

AD=AB-DB=AB-ED/√3=4-x/√3

∠A=∠B=45°，AD=DF=4-x/√3

S△ADF=AD*DF=(4-x/√3)²=16-8x+3x²

y=S四边形BDFC=S△ABC-S△ADF=2*4/2-(16-8x+3x²)=-3x²+8x-12

取值范围：(4√3＞x＞2√3)我是个初中生

追问

DB=ED/√3吗

追答

解(1)：

AD=AB-DB=AB-ED/√3=4-x/√3

∠A=∠B=45°，AD=DF=4-x/√3

S△ADF=AD*DF=(4-x/√3)²=16-8x+3x²

y=S四边形BDFC=S△ABC-S△ADF=2*4/2-(16-8x+3x²)=-3x²+8x-12

取值范围：(4√3＞x＞2√3)我是个初三的，不懂定义域。
解（2）：

分类讨论：

①ED/DB=BD/DF

x/(x/√3)=(x/√3)/(4-x/√3)

x=6√3-6

②ED/DB=DF/DB

一看就无解

所以x=6√3-6

答：（1）y=-3x²+8x-12(4√3＞x＞2√3)
（2）x=6√3-6