Question

已知函数f（x）是（﹣∝，+∞）上的奇函数，且f（x）的图像关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1 -

(1)求证：f（x）是周期函数
（2）当x∈[1，2]时，求f（x)的解析式
（3)计算f（0）+f（1）+f（2）+……+f（2013）

Answer 1

1.
因为它的图像关于直线x=1对称。 所以f(x)=f(2-x)
所以f(x+2) =f(2-(x+2))=f(-x)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以函数f(x)是周期为4的周期函数.
2.
因为当0≤X≤1时，f(x)=2^x-1 ，
当1=<x<=2时,0<=2-x <=1
f(x)=f(2-x)= 2^(2-x)-1;
即当x∈[1，2]时，f(x)= 2^(2-x)-1.

3.
因为f(-x)=-f(x) 令x=0,得f(0)=-f(0),解得:f(0)=0
f(1)=1,f(2) =-1,f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-1,
f(0) +f(1) +f(2) +f(3)=0+1-1-1=-1.

因为f(x)是周期为4的周期函数，
f（0）+f（1）+f（2）+……+f（2013）共有2014项，
包含503个周期，还余下最后两项，
所以f（0）+f（1）+f（2）+……+f（2013）
=503*（f(0) +f(1) +f(2) +f(3)）+f（2012）+f（2013）
=503*（-1）+f(0) +f(1)
=-502.

追问

为什么因为它的图像关于直线x=1对称。 所以f(x)=f(2-x)