Question

已知函数f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞]时，f（x)≥a恒成立，求a的取值范围

答案是[-3，1]

Answer 1

解：∵f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立
∴x2-2ax+2-a≥0当x∈[-1，+∞）时恒成立 ①
△=4a2-4（2-a）≤0时，①式成立，解得-2≤a≤1
△=4a2-4（2-a）≥0时，得a＜-2或a＞1
又f（x）=x2-2ax+2-a的对称轴是x=a
当a＞1时，函数的最小值是a2-2a2+2-a≥0，解得-2≤a≤1，此种情况下无解，
当a＜-2时，函数的最小值是6+2a≥0，a≥-3，故有-3≤a＜-2
综上，实数a的取值范围是[-3，1]
故答案为[-3，1]

Answer 2

f（x）=（x-a）的平方+2-a的平方 因为当x∈[-1，+∞]时，f（x)≥a恒成立
所以当x∈[-1，+∞]时，（x-a）的平方+2-a的平方≥a ，（x-a）的平方≥a-2+a的平方
（x-a）的平方≥（a+1/2）-7/4 所以 最终的答案就是[-3,1]

Answer 3

首先算出对称轴x=a
（1）若a∈[-1，+∞）
则f(a)≥a 结合a∈[-1，+∞）可以推出a∈[-1，1]
（2）若a≤-1
则f(-1)取得最小值 f(-1)≥a 可以推出a∈[-3,1]
合起来就是答案了
画一下图就简单了

Answer 4

F(x)`=2x-2a
a>0时
x=a 时取最小值
F(a)=2-a^2》a a∈（0,1]
a<0时
x=a 时取最大值
a》-1时，F(-1)=3+2a》a a≥-3
a《-1时，F(a)=2-a^2》a a≥-2
a∈[-2,0）
a=0时f(x)≥a恒成立
综上a∈[-2,1]