Question

四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，角AEF=90度，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证AE=EF

四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，角AEF=90度，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。求证：AE=EF .当E是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，若成立，请说明理由。

Answer 1

过F做FH⊥BC，交延长线与H点

∵∠AEF=90°

∴∠BAE=∠HEF

∴△ABE相似于△EHF相似于△ECI

∵AB=2BE

∴EC=2IC，EH=2FH

且有IC/FH=EC/EH

又∵CF为角平分线，所以CH=FH

FH=0.5EH=CH

∴C是EH的中点

则有EH=2EC=BC=AB

∴△ABE全等于△EHF，即AE=EF。

 

设AB=aBE

上述的三角形相似关系依然存在

∴aFH=EH=EC+CH=aCH

∴CH/EC=1/（a-1）

∴CH/EC+1=（CH+EC）/EC=EH/EC=1/（a-1）+1=[1+（a-1）]/（a-1）=a/（a-1）

而AB/EC=aBE/（aBE-BE）=a/（a-1）=EH/EC

∴AB=EH

∴△ABE≡△EHF

∴AE=EF

Answer 2

解:因为 E 是 BC 中点,且AB=BC; 所以 AB : BE = 2 : 1
因为 角AEF 为 90°, 所以 角AEB + 角FEC = 90° (互补)
因此 角EAB = 角FEC (互余)
所以 三角形ABE 相似于 三角形EGF (其中G为F点在直线BC上的垂足)
所以 AB : BE = EG : FG
又因为 角FCG 为 90°/2 = 45°; 所以 FG = CG
所以 AB : BE = (EC + CG) : CG = 2 : 1
所以 EC = CG
又 BE = EC
所以 BE = EC = CG = FG = AB/2
即 AB = EC + CG = EG, BE = FG
三角形ABE 全等于 三角形EGF
所以AE = EF

若不为2:1,可以同样推倒.

Answer 3

可以给个图么亲？