Question

解方程组：x^2+y^2+x+y=18,x^2+xy+y^2=19

Answer 1

x^2+y^2+x+y=18 (1)
x^2+xy+y^2=19 (2)
设：
u=x+y
v=xy
x^2+y^2+u=18 (3)
x^2+y^2+v=19 (4)
u^2-2v+u=18 (5)
u^2-2v+v=19 u^2-v=19 v=u^2-19 (6)
将（6）代入（5），得到：
u^2-u-20=0 (u-5)(u+4)=0
解出： u1=5 u2=-4
v1=6 v2=-3
从而解出：
x1=3 y1=2
x2=2 y2=3
此外还有一组解：
x1=√7-2 y1=-(√7 +2)
x2=-(√7 +2) y2=√7 -2
验证：x1=3,y1=2 (1)、（2）都正确！
x2=2,y2=3 (1)、（2）都正确！
x1=√7-2, y1=-(√7+2) (1)：(√7-2)^2+(√7+2)^2-4=22-4=18 （1）正确！
(2)：(√7-2)^2+(√7+2)^2-(√7-2)(√7+2)=22-3=19 (2)正确！
x2=-(√7 +2) ，y2=√7 -2 ，由于x,y的对称性，此组解答也正确。

Answer 2

令a=x+y, b=xy
则方程组化为：
a²+a-2b=18 ③
a²-b=19 ④
③-④*2，消去b: -a²+a=-20
a²-a-20=0
(a-5)(a+4)=0
a=5, -4
b=a²-19=6, -3
即x+y=5, xy=6,即x,y为方程t²-5t+6=0的根，解得x,y=2,3
或x+y=-4, xy=-3,即x,y为方程t²+4t-3=0的根，解得x,y=-2±√7
所以方程组有以上4组解。