Question

已知函数f(x)=x+a/x-(a-1)lnx,讨论f(x)的单调性

Answer 1

f(x)=x+a/x-(a-1)lnx
首先判断其定义域
x≠0，x≥0
故f(x)定义域为(0,+∞)
求导，得
f′(x)=1-a/x^2-(a-1)/x
=[x^2-(a-1)x-a]/x^2
由于x^2>0，则判断x^2-(a-1)x-a的正负即可。
x^2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1)
①若a<-1，
x<a或者x>-1时，x^2-(a-1)x-a>0，即f′(x)>0，原函数递增

a<x<-1时，x^2-(a-1)x-a<0，即f′(x)<0，原函数递减
在定义域(0,+∞)，原函数递增。
②若a=-1，
x^2-(a-1)x-a=(x+1)^2≥0，原函数递增。
在定义域(0,+∞)，原函数递增。
③若-1<a≤0，
x<-1或者x>a时，x^2-(a-1)x-a>0，即f′(x)>0，原函数递增
-1<x<a时，x^2-(a-1)x-a<0，即f′(x)<0，原函数递减
在定义域(0,+∞)，原函数递增。
④若a>0，
在(0,a)上，原函数递减，
在(a,+∞)上，原函数递增。

综上所述，若a≤0，原函数在定义域(0,+∞)递增
若a>0，在(0,a)上，原函数递减，
在(a,+∞)上，原函数递增。

追答

这个区间划分太详细了。可以只分两种情况：a≤0和a＞0

追问

…什么意思

追答

令x^2-(a-1)x-a=(x-a)(x+1)=0

x=a或者x=-1
①若a≤0，二次函数与x轴的交点都在x轴负半轴或者原点，
而该二次函数开口向上，
故在(0,+∞)上，x^2-(a-1)x-a>0，即f(x)递增
②若a>0，
在(0,a)上，原函数递减，
在(a,+∞)上，原函数递增。

综上所述，若a≤0，原函数在定义域(0,+∞)递增
若a>0，在(0,a)上，原函数递减，
在(a,+∞)上，原函数递增。

追问

谢谢…

追答

不客气。