Question

已知函数f(x)=x^a*lnx,讨论函数f(x)的单调性

其中a属于R

Answer 1

f(x)=x^a*lnx, f'(x)=ax^(a-1)*lnx+x^(a-1)=x^(a-1)*[alnx+1]
当a=0时，f'(x)恒大于0，函数f(x)在（0，+∞）为单调递增函数。
当a≠0时，f'(x)=x^(a-1)*[alnx+1]=0，x=e^(-1/a)
函数f(x)在（0，-1/a)为单调递减函数，在[-1/a,+∞）为单调递增函数.
如有不明白的，请提问，我很乐意解答。

Answer 2

f(x)=x^a*lnx
x>0
f`(x)=ax^(a-1)lnx+x^a/x
=ax^(a-1)lnx+x^(a-1)
=x^(a-1)(alnx+1)=0
1)若a>0,则f`(x)>0时，alnx+1>0
lnx>-1/a x>e^(-1/a)
{e^(-1/a),+∝}为单调增区间
同理 {-∝，e^(-1/a)}为单调减区间
2)若a<0,则f`(x)>0时，alnx+1>0
alnx>-1 lnx<-1/a
x<e^(-1/a)
{-∝，e^(-1/a)}为单调增区间
同理 {e^(-1/a),+∝}为单调减区间
3)a=0 f(x)=lnx
x>0
f`(x)=1/x>0
(-∝,+∝)为单调增区间

Answer 3

分类讨论：
a不等于-1
a等于-1
分别求导，另它们等于0，然后在导数大于0的范围内单调递增，导数小于0的范围内单调递减

Answer 4

求导数，如果我没有理解错你的题目的话，导数求出来是(alnx+1)*x^(a-1)，令f'(x)=0，再分类讨论a的值，找零点或单调区间。

Answer 5

f'(x)=ax^a-1lnx+x^a-1=(alnx+1)x^a-1 定义域x>0 x^a-1稳大于0
按x=1分段 影响lnx的正负 还要判断a的正负