Question

高数----多元函数微分学在几何上的应用

设曲面方程为xyz=a^3(a>0),证明曲面上任意点的切平面与三个坐标围成的四面体的体积为常数

Answer 1

设曲面上任意一点坐标(x0,y0,z0)
满足x0*y0*z0=a^3
该点处法向量=(y0*z0,x0*z0,x0*y0)
切平面方程为：
y0*z0*(x-x0)+x0*z0*(y-y0)+x0*y0*(z-z0)=0
该平面与x、y、z轴相交得到一个四面体
把x0=0,y0=0代入得到z=3*z0
同理可得：x=3*x0,y=3*y0
该四面体互相垂直的三条棱长分别为l(x)=3*x0、l(y)=3*y0、l(z)=3*z0
体积=S(xy)*l(z)/3
=l(x)*l(y)*l(z)/6
=(3^3)*(x0*y0*z0)/6
=27*a^3/6
=9*a^3/2

三个坐标面所围成的体积为一定数9*a^3/2