Question

与椭圆x²/16+y²/25=1共焦点，且过点(-2,√10)求双曲线的标准方程。求计算步骤

Answer 1

椭圆 x^2/16+y^2/25=1 中，a^2=25，b^2=16，因此 c^2=a^2-b^2=9 ，
所以 c=3 ，焦点为 F1（0，-3）、F2（0，3），
由于 P（-2，√10）在双曲线上，
所以由定义得，双曲线中 2a=|PF1-PF2|=| √[(-2-0)^2+(√10+3)^2]-√[(-2-0)^2+(√10-3)^2] |
=2√5 ，
则 a=√5 ，又 c=3 ，因此 a^2=5，b^2=c^2-a^2=4 ，
所以，所求双曲线方程为 y^2/5-x^2/4=1 。

Answer 2

c²=25-16=9
设双曲线方程是：y²/(a²)-x²/(9-a²)=1
代人(-2,√10)得：10/a²-4/(9-a²)=1
解得：a²=5或a²=18(舍)
∴标准方程是：y²/5-x²/4=1

追问

设a>1,则双曲线x²/a²-y²/(a+1)²=1的离心率e的取值范围是

追答

e²=c²/a²=(a²+b²)/a²=[a²+(a+1)²]/a²=(2a²+2a+1)/a²=(1/a)²+2(1/a)+2=(1/a+1)²+1
∵a>1
∴02
∴e>根2