Question

已知函数f（x）=（x²+a）/x,且f1=2

已知函数f（x）=（x²+a）/x,且f1=2
1 判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性
2 证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数

Answer 1

解由f（1）=（1^2+a）/1=2
解得a=1
故f（x）=（x^2+1）/x
由f（-x）=（（-x）^2+1）/（-x）
=-（x^2+1）/x=-f（x）
即f（x）=-f（x）
故f（x）是奇函数
2设x1，x2属于（1，+∞）且x1＜x2

则f（x1）-f（x2）
=（x1^2+1)/x1-（x2^2+1)/x2
=x1-x2+1/x1-1/x2
=（x1-x2）-（1/x2-1/x1）
=（x1-x2）-（x1-x2）/x2x1
=（x1-x2）（1-1/x1x2）
又由1＜x1＜x2
知x1-x2＜0
x1x2＞1
即1/x1x2＜1
即1-1/x1x2＞0
即（x1-x2）（1-1/x1x2）＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
故函数f（x）在（1，+∞）上是增函数