Question

已知函数f（x）=x^3+bx^2+cx+2在x=1处取得极值-1.求b,c的值

（1.）若f（x）在x=1处取得极值-1.求b,c的值
（2）、在（1）.的条件下，若函数y=f（x）的图像与函数y=k的图像恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围

Answer 1

1）f '(x)=3x^2+2bx+c ，
根据已知得 f(1)=1+b+c+2=-1 ， （1）
且 f '(1)=3+2b+c=0 ， （2）
由以上两式可解得 b=1 ，c=-5 。

2）由1）知，f(x)=x^3+x^2-5x+2 ，
令 f '(x)=3x^2+2x-5=0 得 x1=-5/3 ，x2=1 ，
因此，函数极大值为 f(-5/3)=229/27 ，极小值为 f(1)=-1 ，
因为函数图像与 y=k 恰有三个不同交点，
所以，-1<k<229/27 。

Answer 2

f'(x)=3x^2+2bx+c
由题，f(x)在x=1处取得极值，故f'(x)在x=1处为0
即：3+2b+c=0---------->(1)
又f(x)在x=1处的极值为-1，代入得：
1+b+c+2=-1------------>(2)
联立解（1）（2）方程可得：b=1,c=-5

则f(x)=x^3+x^2-5x+2
f'(x)=3x^2+2x-5=(3x+5)(x-1)
f'(x)有两个0点，分别在x=-5/3和x=1处，同时这两个0点即是f(x)图形的拐点
则若y=f(x)与y=k恰有三个不同交点，K值必定介于f(x)的两个拐点之间
即-5/3<K<1