Question

已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB=4

【1】在AB边上求作点P，使PC+PD最小【2】求出 PC+PD的最小值
说出问题一的作图依据。

Answer 1

(1)延长DA到E,使AE=AD,连接CE,与AB交于P,此点即为PC+PD最小点.
依据：因为AB垂直且平分DE，所以在AB上的任一点，都有PD=PE，所以PC+PD=PC+PE，如果在AB上任取一点（P点除外），都会构造成一个三角形，将有两边之和大于第三边，而CE为一条直线（即三角形第三边）为最小。
（2）从点E做CB延长线的垂线与CF交于F
由∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，知∠D=120°，CD=DE，∠ECD=30°，所以∠ECF=30°，在直角三角形ECF中，EF=AB=4，CE=2EF=8，即
PC+PD的最小值=8

Answer 2

【1】作D关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P
作图依据是两点之间线段最短
【2】最小为8

Answer 3