Question

已知数列{an}满足a1=33，an+1-an=2n，则an/n的最小值为

Answer 1

an-an-1=2(n-1) (n≥2)
……
a2-a1=2
an-a1=2(n-1)+……+2
an-a1=[2(n-1)+2](n-1)/2
an-a1=n(n-1)
an=33+n(n-1)
an/n=n-1+33/n
n=33/n 即n=√33
an/n=2√33-1
n=√33不为整数
n=5 an/n=53/5=10.6
n=6 an/n=21/2=10.5
a5/5>a6/6
a6/n

Answer 2

思路：先利用叠加法求出an，再求an/n的最小值。
解：因为：an+1-an=2n
所以：当n=1时，a2-a1=2*1
当n=2时，a3-a2=2*2
当n=3时，a4-a3=2*3
……
an-an-1=2（n-1）
以上n-1个式子相加得：
an-a1=2【1+2+3+……+(n-1）】=2*[n(n-1)/2]=n(n-1)=n^2-n
又a1=33，所以an=n^2-n+33
故an/n=n-1+33/n，
因为n属于整数，当n=33/n 即n=√33
（ an/n）有最小值2√33-1
而 n=√33不为 整数，且
当 n=5 时，an/n=a5/5=53/5=10.6
当 n=6 时，an/n=a6/6=21/2=10.5
所以 当 n=5时，an/n的最小值为a5/5=10.6。

追问

为什么当n=33/n 即n=√33
（ an/n）有最小值2√33-1

追答

利用均值不等式。

Answer 3

An=n^2+n+1，当n=5,An/n最大为12+1/5