Question

已知A.B∈（0，∏/2），且（1+tanA）·（1+tanB）=2，求证A+B=∏/4；逆命题成立吗？

Answer 1

都成立
原命题证明：
因为（1+tanA）·（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2
所以 tanA+tanB=1- tanAtanB
所以 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=1
∴A+B==π/4
逆命题成立，证明：
∵A+B=π/4 ，∴ tan(A+B)=tanπ/4=1=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
所以 tanA+tanB=1- tanAtanB
∴ （1+tanA）·（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2

Answer 2

（1+tanA）·（1+tanB）=1+tanA+tanB+tanAtanB=2
tanA+tanB=1- tanAtanB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
得tan(A+B）=1
A+B==∏/4
逆命题也成立