Question

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD垂直AB于D,点E是圆O上一点,且角ACE=2倍角BC

(1)求证CQ垂直AE
(2)若BD=1,AE=4,求圆O的半径

Answer 1

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上一点,CD垂直AB于D,点E是圆O上一点,且角ACE=2倍角BCD,连AE 

(1)求证CQ垂直AE(2)若BD=1,AE=4,求圆O的半径

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB 

∴∠BDC=∠ACB＝90°

∵ ∠ACE=2∠1 

连接OC，设∠3=∠2，∴∠ACE=2∠1=2∠2 

易知∠1=∠4  ==>而∠4=∠2   ∴∠1=∠4 =∠2 =∠3

又∠3 =∠5  ∴△OCA≌△OCE  得CA=CE

∴CQ⊥AE

（2）解析：∵BD=1,AE=4

∠1=∠2 ， ∠BDC=∠CQA＝90°

∴△CBD∽△CAQ

∴BC/AC = BD/AQ =1/2 

∵△ABC∽△CAQ

∴AQ/CQ=1/2==>CQ=4==>AC=2√5,BC=√5

∴AB=5==>OA=OB=5/2