Question

导数的解答题

1.求函数y=(x-a)(x-b)(x-c)的导数
2.求垂直直线2x-6y+1=0并且与曲线y=x立方+3乘以x平方-5相切的直线方程
我要详细过程,谢谢帮忙!!

Answer 1

1. y=(x-a)(x-b)(x-c)
y'=[(x-a)(x-b)(x-c)]'
=(x-a)'(x-b)(x-c)+(x-a)(x-b)'(x-c)+(x-a)(x-b)(x-c)'
=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
=3x^2-2(a+b+c)x+bc+ac+ab
2. 2x-6y+1=0等价于 y=x/3+1/6
因此直线2x-6y+1=0的斜率为k=1/3
因此垂直于2x-6y+1=0的直线的斜率为(-1)/k=(-1)/(1/3)=-3
由已知y=x^3+3x^2-5 得到 y'=3x^2+6x
由于所求直线与y=x^3+3x^2-5相切，所以有y'＝-3
即 3x^2+6x=-3
于是 x^2+2x+1=0
解得x=-1
代入y=x^3+3x^2-5，得到y=-3
即切点坐标为(-1,-3)
设所求直线方程为y=-3x+b，
将切点坐标代入，得到-3=-3*(-1)+b
b=-6
因此所求直线方程为y=-3x-6

Answer 2

y'=[(x-a)(x-b)(x-c)]'
=(x-a)'*(x-b)(x-c)+(x-a)*(x-b)'*(x-c)+(x-a)(x-b)*(x-c)'
=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)
=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)

2x-6y+1=0斜率=1/3，所以和他垂直的直线斜率=-3
y=x^3+3x^2-5
y'=3x^2+6x
所以3x^2+6x=-3
x=-1
所以当x=-1时，y=-3
所以切线是y+3=-3(x+1)
3x+y+6=0

Answer 3

y=abcx^3+(a+b+c)x^2-abx-acx-bcx-abc
y'=3abcx^2+2(a+b+c)x-(ab+ac+bc)
y''=6abcx+2(a+b+c)
y'''=6abc

设所求直线的斜率为k
因为与直线2x-6y+1=0垂直 所以k=-3
因为所求直线与曲线y=x立方+3乘以x平方-5相切(m,n)
所以k=y'(m)=3m^2+6m
解方程3m^2+6m=-3 得m=-1 所以n=-1+3-5=-3
因为所求直线过(-1,-3)斜率为=-3
所以直线方程为3(x+1)+(y+3)=0

Answer 4

(1) y=(x^2-(a+b)x+ab)(x-c)
=x^3-(a+b)x^2+abx-cx^2+c(a+b)x-abc
=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+ac+bc)x-abc
所以 y'=3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc.
(2)设y=x^3+3x^2-5的切点为(a,a^3+3a^2-5);
因为于2x-6y+1=0垂直，所以斜率为-3
y'=3x^2+6x,所以
3a^2+6a= -3;
a= -1
切点为(-1,-3)
所以所求直线方程为
y+3= -3(x+1),即 3x+y+6=0;