Question

数列问题（不止要答案还要过程，详细点，答得好的话加分）

1）已知单调递增数列{an}的通项公式为：αn=n2-2αn+1（α为常数，且α∈R），则实数α的取值范围为　　；　　（2）数列{an}满足：①αn<αn+1，n∈N*；②n∈N*,n>1.请写出同时满足①②两个条件的数列的通项公式　　；　　（3）数列{an}的通项公式为：，{an}的最小项为α15，最大项为α16，则实数a的取值范围　　.　
【答案】（1）（2）an=lgn，（n∈N*）；（只要满足题意即可！）（3）15<a<16
我不知道答案到底对不对，





Answer 1

解析，
（1），设f(n)=an=n²-2a*n+1，
【1】把an看作是二次函数，那么，导数(an)'=2n-2aan为单调递增函数，那么(y)'≥0，2n-2a≥0
也就是，a≤n恒成立，那么a≤1。
【另外，有一点不能忽略，就是，n∈N*】，
【2】如果，f(1)＜f(2)，也满足题意，也就是说，y=x²-2ax+1在[1,2]内不是单调递增的函数，但当x∈N*时，y=x²-2ax+1它就是单调递增的函数。解出，a<3/2，
综上所述，a<3/2。【很关键的一步，刚开始，我就忘记了】
（2），an<a(n+1)，说明它是一个单调递增的数列，
an<1/2*[a(n-1)+a(n+1)]，整理得，【a(n+1)-an】/【an-a(n-1)】>1，
那么，根据上题的启发可以得到，an=n²，就满足以上两个条件。
（3）an=(n+1)/(n-a)=1+(1+a)/(n-a)
那么，根据函数的图像分析，
当a+1<0，那么那么an一直都是增函数，不满足题意。
当a+1=0，那么an=1，不满足题意，
因此，a+1>0，即是a>-1。
由于n∈N*，故，在-1<a<1时，an是横为减函数，不满足题意，故，a>1
1+(1+a)/(n-a)的图像分两部分，以x=a为界限，一部分在(1，a)为减函数，一部分在（a,+∞）也为减函数，
故，要想满足an的最小项是a15，最大项为a16，15-a<0且16-a>0
故，15<a<16。

追问

那请问第二问an=lgn这个对吗？

追答

不对，an=lgn，那么a(n+1)=lg(n+1)，a(n-1)=lg(n-1)
画出图形分析，最简单，梯形中线长等于【lg(n+1)+lg(n-1)】/2
然而，lgn通过图形明显看出，lgn>【lg(n+1)+lg(n-1)】/2，
也就是，an>[a(n+1)+a(n-1)]/2
,因此，推断，只要图形是向下凹的图形，就会满足题意。

追问

如果第二问要用凹函数与凸函数的概念去做，怎么理解

追答

由于n∈N*，n≥2，
【1】如果是向上凸增函数，随着n的变大，记k1为凸函数上每一点的切线的斜率，那么斜率k1越来越小，斜率小说明函数值的变化越来越小，因此，一定有an>[a(n+1)+a(n-1)]/2。
【2】如果是向下凹增函数，随着n的变大，记k2为凹函数上每一点的切线的斜率，那么斜率k2越来越大，斜率大说明函数值的变化越来越大，因此，一定有an<[a(n+1)+a(n-1)]/2。