Question

已知△ABC中两边长a=3,c=5,且第三边长b是关于x的一元二次方程x^2-4x+m=0的两个正整数根之一，求sinA的值。

Answer 1

x^2-4x+m=0
x=(4±√(16-4m))/2
=2±√(4-m)
5-3＜b＜3+5，即2＜b＜8
所以b=2+√(4-m)
又b为正整数
所以m=0，即b=4
因a²+b²=c²
所以三角形为直角三角形
所以sinA=3/5

追问

m=3不行吗

追答

这题应该：
x^2-4x+m=0
x=(4±√(16-4m))/2
=2±√(4-m)
方程为二正根，所以m=3
这时b=3
a²=b²+c²-2bccosA
cosA=9-9-25/-2*3*5
=5/6
sinA=√1-(5/6)²=(√11)/6

前面的错了，m不能等于0，等于0时就没二个正根了

追问

我的做法跟你一样，但参考答案是3/5，我就郁闷了。

追答

答案是3/5的话，那么m只能取0
这时方程的二根为4和0，
和题目中的一元二次方程x^2-4x+m=0的两个正整数根有矛盾呀
刚开始我也没注意这点，后来再详细看，才发现了这问题....

Answer 2

解：设xl，x2是关于x的方程x2-4x+m=0的两个正整数根，∴x1+x2=4．
∴x1=1，x2=3或x1=x2=2或x1=3，x2=1．（2分）
∴b只能取l、2、3．（2分）
由三角形三边关系定理，得
2＜b＜8，∴b=3．（1分）
过C作CD⊥AB，垂足为D．
∵AC=BC=3∴AD=

1
2
AB=

5
2
在Rt△ACD中，CD=

AC2-AD2
=

11
2
（1分）∴sinA=

CD
AC
=

112
3
=

11
6 （1分）