设f(x)在（a,b)内有二阶导数，且f''(x)>0,证明对于0<λ<1的λ有f[λx+(1-λ)x]≤λf(x)+(1-λ)f(y)
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当x=y的时候命题自然成立。不妨设x<y。
f二阶可导，说明可以对f(x)用中值定理。于是：
f(λx+(1-λ)y) - f(x) = (1-λ)(y-x)*f'(c1)，其中x<c1<λx+(1-λ)y；
f(λx+(1-λ)y) - f(y) = λ(y-x)*f'(c2)，其中λx+(1-λ)y<c2<y
将第一式乘以λ，第二式乘以(1-λ)，得到
f(λx+(1-λ)y) - (λf(x) + (1-λ)f(y)) = λ(1-λ)(y-x)*(f'(c1)-f'(c2))
但是f''>0推出f'是增函数，而c1<c2，所以上式右端为负，即证
f二阶可导，说明可以对f(x)用中值定理。于是：
f(λx+(1-λ)y) - f(x) = (1-λ)(y-x)*f'(c1)，其中x<c1<λx+(1-λ)y；
f(λx+(1-λ)y) - f(y) = λ(y-x)*f'(c2)，其中λx+(1-λ)y<c2<y
将第一式乘以λ，第二式乘以(1-λ)，得到
f(λx+(1-λ)y) - (λf(x) + (1-λ)f(y)) = λ(1-λ)(y-x)*(f'(c1)-f'(c2))
但是f''>0推出f'是增函数，而c1<c2，所以上式右端为负，即证
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